Boletín Nº 53 de la Sociedad Puig Adam de profesores de Matemáticas

Introducción

Este artículo recoge la presentación que hice en el congreso IMACS-ACA 99, celebrado en El Escorial del 24 al 27 de Junio de 1999. en él se pretende hacer una reflexión sobre posibles cambios curriculares en la enseñanza del Álgebra en Bachillerato y se incluye una propuesta metodológica haciendo uso de las calculadoras gráficas.

No se trata de eliminar contenidos pero sí de plantearnos si algunos de los contenidos en los que tanto insistimos tendrían cabida en unos procesos de enseñanza que se abordan teniendo en cuenta la existencia de estas nuevas tecnologías. Mediante la utilización de calculadoras gráficas se pueden desarrollar ampliamente todos los objetivos que, para el bloque de Álgebra de Bachillerato, propone la LOGSE.

En cuanto a los cambios metodológicos son bastante elocuentes si el lector analiza el desarrollo de los ejemplos que figuran en el presente artículo.

El mismo consta de los siguientes apartados:

• Contenidos curriculares
• Matrices y determinantes
• Sistemas de ecuaciones lineales
• Propuesta metodológica
• Bibliografía.

Los contenidos de las Matemáticas de 2º curso de Bachillerato LOGSE son:

en la materia de Matemáticas II, 

mientras que los contenidos en la materia de Matemáticas II aplicadas a las Ciencias Sociales son:

Vemos que el Álgebra constituye uno de los tres bloques en que se divide el currículo de dichas materias y que los contenidos estudiados son, fundamentalmente, matrices, determinantes y sistemas, ocupando aproximadamente un trimestre del curso escolar.

Por otra parte, los contenidos de dicho bloque están organizados de tal manera que casi el único objetivo del estudio de las matrices y los determinantes es para su utilización como herramientas para la resolución de sistemas de ecuaciones.

Los objetivos que el currículo LOGSE fija para el estudio de las matrices son los siguientes:

Observamos que, normalmente, concedemos más importancia a algunos de ellos en detrimento de otros pues los problemas típicos que se estudian actualmente en el apartado de las matrices se basan fundamentalmente en lograr los dos primeros objetivos olvidando los dos últimos. De esta manera los contenidos se centran en operaciones con matrices: suma, resta , multiplicación, transpuesta , inversa, potencia, así como realizar operaciones del tipo a³ – 3 a + 5 siendo "a" una matriz..

Son ejercicios en los que las operaciones son fáciles pero que requieren muchísimo tiempo por la enorme cantidad de datos con los que se trabaja además de que, en mi opinión, no aportan a los alumnos ningún conocimiento matemático al ser la ejecución inmediata de meros algoritmos que ya conocen. Se trata también de ejercicios en los que el profesor suele poner datos para que los problemas "salgan" y por tanto no son adecuados a los datos o números que aparecen en la vida real.

Veamos con unos ejemplos cómo se resolverían una serie de ejercicios del tipo que estamos comentando mediante la utilización de la calculadora gráfica TI-89.

Dada la matriz siguiente:

a=

Se pide:

1º. Calcular su cuadrado.
2º. Calcular a³- 3 a + 5.
3º. Calcular su inversa.

Introducimos la matriz en el editor dándole el nombre de "a" y a continuación, al pulsar "a", aparece la misma matriz en la pantalla: figuras 1, 2, 3 y 4

                                   Fig.1                                           Fig.2

Fig.3                                                   Fig.4

La calculadora reconoce a partir de ahora la variable "a" como la matriz que hemos introducido. Pulsando a² ENTER nos devuelve inmediatamente el cuadrado de dicha matriz, resolviendo, de esta forma, el primer apartado: figura 5.

Fig.5

Lo mismo ocurre con los otros dos apartados que se piden: figuras 6 y 7.

               Fig.6                                                                 Fig.7

Dadas las matrices a y b:

a= b =

Se pide:

1. Calcular su suma.
2. Calcular a⁴-2b³

Introducimos la matriz b: Figura 8.

Fig.8

y obtenemos los resultados solicitados tecleando las operaciones indicadas : figuras 9 y 10.

Fig.9                                         Fig.10

En lo que se refiere al apartado dedicado a los determinantes la situación es similar pero con el agravante de que parece ser muy importante saber desarrollar un determinante inmenso por sus adjuntos o haciendo uso de sus propiedades cuando con la calculadora lo tendríamos resuelto en un momento:

Ejemplo 3:

Calcular el determinante de la matriz siguiente:

C =        

Introducimos la matriz en el editor dándole el nombre "c" y la presentamos en la pantalla de la calculadora pulsando c: figuras 11 y 12.

       Fig.11                                            Fig.12

En el menú de Matemáticas, Math, elegimos la orden det del menú correspondiente a las matrices y pulsamos det(c): figuras 13 y 14.

Fig.13                                       Fig.14

Obtenemos el valor del determinante de manera instantánea.

Ya no es necesario utilizar las propiedades de los determinantes para resolver éstos de forma fácil y rápida. Creo que deberíamos plantearnos si las propiedades de los determinantes siguen teniendo tanta importancia como han tenido tradicionalmente en el currículo de COU (ahora 2º Bachillerato).

Mi opinión es que las nuevas tecnologías que implementan las calculadoras gráficas actuales nos deberían liberar de la enorme cantidad de tiempo que supone la mera ejecución de algoritmos y, de esa manera, ganar tiempo para abordar problemas reales y para poder profundizar en los conceptos y no quedarse únicamente en las formas.

Con el uso de calculadoras gráficas se puede, con la mayor facilidad, hacer uso de la gran riqueza que supone la aplicación del cálculo matricial a situaciones de la vida cotidiana y a campos tan diversos como la Biología, Física, Ingeniería, Sociología, Geometría, Teoría de grafos, Movimientos en el plano, Tratamiento de datos, Economía, Lenguajes de programación, Informática, …y, por supuesto, también a la resolución de sistemas de ecuaciones.

En el tema de Sistemas de ecuaciones lineales, lo más característico es que los profesores enfoquemos todo nuestro esfuerzo en que los alumnos sepan resolver sistema dependientes de un parámetro (porque será lo que le caiga en el examen de Selectividad) cuando en realidad éste no es más que uno de los cuatro objetivos que figuran en los materiales didácticos del MEC relativos a este tema:

La realización de las operaciones inherentes a este tipo de ejercicios no permite que los alumnos puedan reflexionar sobre el significado de lo que representa un sistema de ecuaciones lineales ocurriendo de esta forma que cuando, más adelante, estudian en Geometría posiciones de planos y rectas no lo relacionan con lo estudiado en el bloque de Álgebra.

Con la calculadora gráfica podemos resolver sistemas de ecuaciones y además disponemos de varios métodos para resolverlos. Vamos a ver algunos ejemplos en los que resolveremos los sistemas propuestos haciendo uso de la orden rref por considerar que es el método más eficaz. La función rref manipula la matriz ampliada del sistema mediante combinaciones lineales de sus filas hasta obtener un sistema equivalente al dado, las soluciones se ven sin mas que interpretar los resultados. Veámoslo:

Resolver el sistema:

Introducimos la matriz ampliada a la que llamamos "d": figuras 15 y 16.

Y con la orden rref obtenemos el sistema equivalente: figuras 17 y 18.

1 x + 0 y + 0 z = ½

0 x + 1 y + 0 z = 3/2

0 x + 0 y + 1 z = 3/2

Fig.17                                      Fig.18

es decir, la solución es:

x= ½

y=3/2

z=3/2

Resolver el sistema:

Introducimos la matriz ampliada "f" en el editor de matrices: figuras 19 y 20.

Fig.19                                           Fig.20

Al aplicar la orden rref(f) obtenemos el sistema equivalente: figuras 21 y 22.

1 x + 0 y – 4 z = -5

0 x + 1 y + 7 z = 10

Fig.21                                              Fig.22

es decir, tenemos:

x – 4 z = - 5

y + 7 z = 10

Sistema compatible indeterminado cuyas soluciones habremos de obtener a partir del resultado anterior. En efecto, haciendo z = l tenemos, la solución del sistema:

Resolver el sistema:

Introduciendo la matriz ampliada "g" y aplicando la orden rref:

Fig.23

obtenemos el sistema equivalente:

1 x + 0 y + 0 z = 0

0 x + 1 y + 1 z = 0

0 x + 0 y + 0 z = 1

vemos que es un sistema incompatible. Es importante que los alumnos realicen la interpretación del resultado que aparece en la tercera fila.

Si disponemos de una calculadora gráfica con cálculo simbólico podemos resolver sistemas dependientes de un parámetro:

Estudiar y resolver el siguiente sistema:

según los valores del parámetro k.

Introducimos la matriz ampliada y le llamamos "a": figuras 24 y 25.

Fig.24                                                    Fig.25

e introducimos los datos de la matriz ampliada: figuras 26 y 27.

Fig.26                                                             Fig.27

Como hemos visto en l0os ejemplos anteriores, con la orden rref obtenemos las soluciones directamente: figuras 28 y 29.

Fig.28                                              Fig.29

Vemos inmediatamente que para k = - 2 el sistema es incompatible.

Además, si tratáramos de calcular las soluciones para k = -2, obtendríamos: figura 30.

Fig.30

Es decir, llegaríamos a una situación similar a la obtenida en el ejercicio 6.

Por tanto el sistema es compatible para k distinto de - 2. Se trata de analizar cuándo es compatible determinado y cuándo es compatible indeterminado.

Introducimos la matriz de los coeficientes y calculamos su determinante: figuras 31 y 32.

Fig.31                                                  Fig.32

El determinante es cero para los valores – 2 y 2.

Para k = - 2 ya está hecho el análisis. Veamos qué ocurre para k =2: figura 33.

Fig.33

Sistema compatible indeterminado cuyas soluciones se obtienen a partir del resultado que nos muestra la pantalla en la primera y segunda fila de la matriz resultante:

x + y = 3

z = - 1

es decir:

x = 3 - l

y = l

z = - 1

El estudio, por tanto queda de este modo:

k = -2: Sistema incompatible.

k = 2 : Sistema compatible indeterminado

k <> -2 y k <> 2: Sistema compatible determinado.

Si lo resolvemos para cualquier valor distinto de – 2 y 2, por ejemplo para k = 5: figura 34.

Fig.34

Vemos que la solución es:

x= -5/7

y = 2/7

z = ½

Sería interesante analizar este ejercicio desde el punto de vista geométrico y podemos hacerlo al habernos ahorrado tiempo utilizando la calculadora.

Teniendo en cuenta que las ecuaciones del sistema propuesto representan geométricamente 3 planos en el espacio, se pide estudiar las posibles posiciones que adoptan según los valores del parámetro k y, en caso de que existan intersecciones, calcularlas.

Según el estudio realizado podemos concluir:

k = -2: Sistema incompatible. Los planos no se cortan.

k = 2: Sistema compatible indeterminado. Los planos se cortan según la recta:

x + y = 3

z = - 1

k <> -2 y k <> 2: Sistema compatible determinado. Los planos se cortan en un punto que será distinto según los valores que tenga el parámetro k, por ejemplo para k = 5 se trata del punto: (-5/7, 2/7, ½)

Veamos a continuación algunas propuestas metodológicas para el bloque de Álgebra haciendo uso de calculadoras gráficas:

• Trabajar con lápiz y papel matrices de dimensiones pequeñas y con calculadora las matrices de dimensiones grandes.

• Cuando se trate de números grandes o difíciles de manejar (como suele suceder cuando los problemas se extraen de contextos reales) trabajar con la calculadora.

• Resaltar la importancia de la notación (a_ij) para aplicaciones a hojas de cálculo y bases de datos.

• En operaciones con matrices: trabajar con lápiz y papel matrices de dimensiones pequeñas (2x2, 2x3,etc.) y pasar a la calculadora para dimensiones mayores.

• Obtener el rango de una matriz por el método de Gauss para matrices de dimensiones pequeñas, utilizando la calculadora para matrices de dimensiones más elevadas.

• Insistir en la interpretación de los resultados que nos proporciona la calculadora.

• Aplicar el cálculo matricial a problemas de la vida real y a problemas relacionados con otras áreas; Física, Química, Economía,…

• Hacer algunos problemas de investigación o hacer que ellos mismos descubran propiedades de las operaciones con las matrices.

• Calcular el determinante de matrices cuadradas de dimensiones pequeñas con lápiz y papel, por ejemplo hasta 3x3. Resolver determinantes de órdenes mayores con calculadora.

• Hacer algunos problemas de investigación o hacer que ellos mismos descubran propiedades de los determinantes y su interpretación geométrica.

• Significado que tiene tanto el planteamiento como la solución de todo tipo de sistemas de ecuaciones.

• Resolución de sistemas de ecuaciones: aplicar básicamente la calculadora a no ser que sean sistemas de fácil solución con lápiz y papel.

• Estimar los resultados e interpretar los mismos.

• Interpretar geométricamente el planteamiento de un sistema así como los resultados de su estudio y soluciones.

• Hacer aplicaciones a problemas con contexto sacados de la vida real y/o aplicaciones a otras áreas que estudian los alumnos.

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